强数学归纳法和良序性公理

强数学归纳法(strong mathematical induction) 与数学归纳法有一些类似,都包括基本步骤和归纳步骤,但强数学归纳法的归纳步骤不再是假设一个整数\(k\)满足\(P(k)\)为真,而是假设对于所有满足\(a\le i\le k\)的整数\(i\),\(P(i)\)为真,然后利用这些假设来证明\(P(k+1)\)为真.

强数学归纳法原理指的是,如果满足以下两个条件

1. \(P(a), P(a+1), \cdots, P(b)\)都为真
2. 对于任意整数\(k\ge b\),如果对于所有满足\(a\le i\le k\)的整数\(i\),\(P(i)\)为真,那么\(P(k+1)\)也为真

那么对于任意的整数\(n\ge a\),\(P(n)\)为真.

假设\(P(i), a\le i\le k\)为真被称为推理假设(inductive hypothesis)