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2.1 集合

定义1\(\qquad\)集合是对象的一个无序的聚集,对象也称为集合的元素或成员.集合包含它的元素.

\(a\in A\)表示\(a\)是集合\(A\)中一个元素; \(a\notin A\)表示\(a\)不是集合\(A\)中的一个元素.

描述集合有多种方式.一种方式是在可能的情况是在花括号之间列出所有元素.这种描述集合的方式也称为是 花名册方法.

例子

英语字母表中所有元音字母的集合\(V\)可以表示为\(V=\{a, e, i, o, u\}\).

小于10的正奇数集合\(O\)可以表示为\(O=\{1,3,5,7,9\}\).

小于100的正整数集合可以表示为\(\{1,2,3,\cdots,99\}\).

如例3所示,用花名册方法表示集合时并不需要列出它的所有元素,可以先列出集合中的某些元素，当元素的一般规律显而易见时就用省略号(\(\cdots\))代替.

描述集合的另一种方式是使用 集合构造器 符号.

例子

小于10的正奇数集合\(O\)可以表示为

\[ O=\{x\in\mathbf{Z^+}|x为奇数,x<10\} \]

所有正有理数集合 可以被写为

\[ Q^+ = \left\{ z\in R | x = p/q,p和q为正整数\right\} \]

一些常用的数集如下:

\[\begin{aligned} &\mathbf{N} =\{0,1,2,3,\cdots\},\text{自然数集}\\ &\mathbf{Z} =\{\cdots,-1,0,1,\cdots\},\text{整数集}\\ &\mathbf{Z^+}=\{1,2,3,\cdots\},\text{正整数集}\\ &\mathbf{Q}=\{p/q|p\in \mathbf{Z},q\in\mathbf{Z},q\ne0 \},\text{有理数集}\\ &\mathbf{R},\text{实数集}\\ &\mathbf{R^+},\text{正实数集}\\ &\mathbf{C},\text{复数集} \end{aligned} \]

对于实数\(a,b\)且\(a<b\),实数 区间:

\[ \begin{aligned} \ [a,b\ ]=\{x\mid a\le x\le b\}\\\\ (a,b\ ]=\{x\mid a< x\le b\}\\\\ \ [a,b\ )=\{x\mid a\le x< b\}\\\\ \ (a,b\ )=\{x\mid a< x< b\}\\\\ \end{aligned} \]

其中,\([a,b]\)称为闭区间,\((a,b)\)称为开区间,\([a,b)\)和\((a,b]\)称为半开半闭区间.

定义2\(\qquad\)两个集合相等当且仅当它们具有相同的元素,即对于集合\(A\)和集合\(B\)有

\[ \forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B) \]

记为\(A=B\).

朴素集合论可能会导致一些悖论

韦恩图

全集\(U\)用矩形表示,全集中的集合用圆形或者其它图形表示,集合中的特定元素用点表示. Veen diagram

子集

定义3\(\qquad\)当且仅当集合\(A\)中的元素也是集合\(B\)的元素,那么集合\(A\)是集合\(B\)的子集,集合\(B\)是集合\(A\)的超集,即

\[ \forall x(x\in A\to x\in B) \]

记为\(A\subseteq B\)和\(B\supseteq A\).

证明方法

  • 证明\(A\)是\(B\)的子集:需要证明如果\(x\in A\)那么\(x\in B\).
  • 证明\(A\)不是\(B\)的子集:需要找一个\(x\in A\)使\(x\notin B\).
  • 证明两个集合相等:需要证明\(A\subseteq B\)和\(B\subseteq A\).

定理1\(\qquad\)对于任意集合\(x\)有(i)\(\varnothing\subseteq S\), (ii)\(S\subseteq S\) 证明: (i). 根据子集的定义有\(\forall x(x\in \varnothing\to x\in S)\),因为\(\varnothing\)中没有元素,所以\(x\in\varnothing\)一定为假 当前提为假时,条件语句一定为真. (ii) 根据子集的定义有\(\forall x(x\in S\to x\in S)\),显然成立.

当\(A\)是\(B\)的子集且\(A\ne B\)时,则\(A\)是\(B\)的真子集,记为\(A\subset B\).

集合的大小

定义4\(\qquad\)如果集合\(S\)中恰有\(n\)个不同元素(\(n\)为非负整数),则\(S\)为有限集,\(n\)称为\(S\)的基数,记为\(|S|\).

空集没有元素,所以\(|\varnothing|=0\).

定义5\(\qquad\)．如果一个集合不是有限的,则称其是无限的.

幂集

定义6\(\qquad\)给定集合\(S\),\(S\)的幂集是集合\(S\)所有子集的集合.记为\(\mathcal{P}(S)\).

空集的幂集

\[ \begin{aligned} &\mathcal{P}(\varnothing)=\{ \varnothing\}\\ &\mathcal{P}(\{\varnothing\})=\{\varnothing,\{\varnothing\}\} \end{aligned} \]

笛卡尔积

定义7\(\qquad\)有序\(n\)元组\((a_1, a_2, \cdots , a_n)\)是以\(a_1\)为第\(1\)个元素,\(a_2\)为第\(2\)个元素,\(\cdots\),\(a_n\)为第\(n\)个元素的有序聚集.

两个有序\(n\)元组是相等的当且仅当每一对对应的元素都相等.

定义8\(\qquad\)集合\(A\)和\(B\)的笛卡儿积用\(A\times B\)表示,是所有序偶\((a, b)\)的集合,其中\(a\in A\)且\(b\in B\).于是

\[ A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\wedge b\in B\} \]

注意

\(A\times B\)与\(B\times A\)所得结果不同,除非当\(A=\varnothing\)或\(B=\varnothing\).

定义9\(\qquad\)集合\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)的笛卡儿积用\(A_1\times A_2\times A_3\times\cdots\times A_n\)表示，是有序\(n\)元组\((a_1,a_2,\cdots,a_n)\)的集合，其中 \(a_i\)属于\(A_i\),\(i= 1,2,\cdots,n\).换言之

\[ A_1\times A_2\times\cdots\times A_n=\left\{(a_1,a_2,\cdots\,a_n)\mid a_i\in A_i,i=1,2,\cdots,n\right\} \]

给定谓词\(P\)和论域\(D\),则\(P\)的真值集为\(D\)中使\(P(x)\)为真的元素\(x\)组成的集合.\(P(x)\)的真值集记为\(\{x\in D \mid P(x)\}\).