1.1 命题
命题
命题 是一个陈述语句(即陈述事实的语句),它或真或假,但不能既真又假.
定义1\(\qquad\)令\(p\)为一命题.则\(p\)的否定命题记为\(\neg p\)(也可以记为\(\over p\)),指"不是\(p\)所指的情形",命题\(\neg p\)读作"非\(p\)",\(p\)的否定(\(\neg p\))的真值与\(p\)的真值相反.
| \(p\) | \(\neg p\) |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
定义2\(\qquad\)令\(p\)和\(q\)为命题.\(p,q\)的合取即命题"\(p\)并且\(q\)",记作\(p\wedge q\).当\(p\)和\(q\)都是真时，\(p\wedge q\)命题为真,否则为假.
| \(p\) | \(q\) | \(p\wedge q\) |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
在离散数学中,有时也用"但是"表示"而且".
定义3\(\qquad\)令\(p\)和\(q\)为命题.\(p,q\)的析取即命题"\(p\)或",记作\(p\vee q\).当\(p\)和\(q\)均为假时，\(p\vee q\)命题为假,否则为真.
| \(p\) | \(q\) | \(p\vee q\) |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
定义4\(\qquad\) 令\(p\)和\(q\)为命题.\(p\)和\(q\)的异或(记作\(p\oplus q\))是这样一个命题:当\(p\)和\(q\)中恰好只有一个为真时命题为真,否则为假.
| \(p\) | \(q\) | \(p\oplus q\) |
|---|---|---|
| T | T | F |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
兼或 是指两命题可以同时成立,异或 指两命题只有一个成立.
条件语句
定义5\(\qquad\) 令\(p\)和\(q\)为命题.条件语句\(p\to q\)是命题"如果\(p\),则\(q\)":.当\(p\)为真而\(q\)为假时,条件语句\(p\to q\)为假,否则为真.在条件语句\(p\to q\)中,\(p\)称为假设(前件,前提),\(q\)称为结论(后件).
| \(p\) | \(q\) | \(p\to q\) |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
条件语句的其他表示方法
逆命题、逆否命题与反命题 由条件语句可以构成一些新的条件语句.特别是三个常见的相关条件语句还拥有特殊的名称. 1. 命题\(q\to p\)称为\(p\to q\)的逆命题, 2. 而\(p\to q\)的逆否命题是命题\(\neg q\to\neg p\). 3. 命题\(\neg p\to\neg q\)称为\(p\to q\)的反命题.
双条件命题
定义6\(\qquad\) 令\(p\)和\(q\)为命题.双条件语句\(p\leftrightarrow q\)是命题“\(p\)当且仅当\(q\)".当\(p\)和\(q\)有同样的真值时，双条件语句为真,否则为假.双条件语句也称为双向蕴含.
| \(p\) | \(q\) | \(p\leftrightarrow q\) |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
双条件命题的其他表示方法
- "\(p\)是\(q\)的充分必要条件"
- "如果\(p\),那么\(q\),反之亦然"
- "\(p\)当且仅当\(q\)"
复合命题的真值表
真值表的行数\(r\)与命题个数\(n(n\in\mathcal{Z_+})\)的关系为
其中T与F各\(\dfrac{r}2\)行
给出\((p\vee\neg q)\to(p\wedge q)\)的真值表
| \(p\) | \(q\) | \(\neg q\) | \(p\vee\neg q\) | \(p\wedge q\) | \((p\vee\neg q)\to(p\wedge q)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| T | T | F | T | T | T |
| T | F | T | T | F | F |
| F | T | F | T | F | T |
| F | F | T | T | F | F |
逻辑运算符的优先级
| 运算符 | 优先级 |
|---|---|
| \(\neg\) | 1 |
| \(\vee\) | 2 |
| \(\wedge\) | 3 |
| \(\to\) | 4 |
| \(\leftrightarrow\) | 5 |
逻辑运算和位运算
计算机用 位 表示信息.位是一个具有两个可能值的符号,即0和1.位一词的含义来自二进制 数字,因为0和1是数的二进制表示中用到的数字.我们用1表示真,用0表示假.即,1表示T(真), 0表示F(假).如果一个变量的值或为真或为假,则此变量就称为布尔变量.
| 真值 | 位 |
|---|---|
| T | \(1\) |
| F | \(0\) |
定义7\(\qquad\) 位串 是0位或多位的序列.位串的长度就是它所含位的数目.
我们分别用符号\(\vee\),\(\wedge\)和\(\oplus\)表示 按位OR、按位AND 和 按位XOR 运算.