2.2 集合的运算
定义1\(\qquad\)集合\(A\)和集合\(B\)的并集是一个包含\(A\)或包含\(B\)或同时在\(A\)和\(B\)中的元素组成的集合,记为\(A\cup B\).
\[
A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}
\]
定义2\(\qquad\)集合\(A\)和集合\(B\)的交集是一个由同时在\(A\)和\(B\)中的元素组成的集合,记为\(A\cap B\).
\[
A\cap B=\{x\mid x\in A\wedge x\in B\}
\]
定义3\(\qquad\)如果两个集合的交集为空,则称它们是不相交的.
容斥原理
\[
|A\cup B| = |A|+|B|-|A\cap B|
\]
定义4\(\qquad\)集合\(A\)和集合\(B\)的差集是一个包含\(A\)的元素但不包含\(B\)的元素的集合,记为\(A- B\).
\[
A- B=\{x\mid x\in A\wedge x\notin B\}
\]
定义5\(\qquad\)集合\(A\)在全集\(U\)上的补集记为\(\overline{A}\).
\[
\overline{A}=\{x\in U|x\notin A\}
\]
集合恒等式
常用的集合恒等式见下图
证明集合恒等式的方法
- 子集法
- 成员表
- 利用已知的恒等式
拓展的并集与交集
定义6\(\qquad\)一组集合的并集是指至少包含这组集合中一个集合成员的元素的集合. 可以用记号
\[
\bigcup_{i=1}^{n}A_i=A_1\cup A_2\cdots\cup A_n
\]
表示集合\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)的并集.
定义7\(\qquad\)一组集合的交集是指同时包含这组集合中集合成员的元素的集合. 可以用记号
\[
\bigcap_{i=1}^{n}A_i=A_1\cap A_2\cdots\cap A_n
\]
表示集合\(A_1,A_2,\cdots,A_n\)的交集.