命题逻辑的有效论证

定义1

论证是一连串的命题。前提是除了论证中最后一个命题外的其他命题结论是论证中最后那个命题 论证形式是一连串涉及命题变量复合命

有效性(valid) 无论用什么特定命题来替换中的命题变量，如果前提均真时结论为真，则称该论证形式是有效的. 当一个论证的所有前提为真蕴含着结论为真,则这个论证是有效的.

当$(p_1\wedge p_2\wedge\cdots\wedge p_n)\to q$是永真式时,以$p_1,p_2,\cdots,p_n$为前提,以$q$为结论的论证形式是有效的

命题逻辑的推理规则

![[rulesOfInference.png]]

当有多个前提时，常常需要用到多个推理规则来证明一个论证是有效的,比如下面的例子

针对假设$p\to q,\neg p\to r$,以及 $r\to s$和结论$\neg q\to s$,给出一个有效论证。解:

\[ \begin{align} &p\to q\\ &\neg q\to\neg p\\ &\neg p\to r\\ &\neg q\to r\\ &r\to s\\ &\neg q\to s \end{align} \]

消解率基于以下的永真式

\[ (p\vee q)\wedge(\neg p\vee r)\to(q\vee r) \]

其中命题$q\vee r$被称为消解式.

常见的谬误一般是基于可能式而非永真式,例如 $$ ((p\to q)\wedge q)\to p $$ 前提为真,但结论不一定正确,这类不正确的推理称为肯定结论的谬误

![[quantified-rule.png]]

全称假言推理

\[ \begin{aligned} &\forall(P(x)\to Q(x))\\ &\underline{P(a),a\text{是论域中的一个特定元素}}\\ \therefore &Q(a) \end{aligned} \]

全称取拒式

\[ \begin{aligned} &\forall(P(x)\to Q(x))\\ &\underline{\neg Q(a),a\text{是论域中的一个特定元素}}\\ \therefore &\neg (a) \end{aligned} \]